👥 Autores

⚡ Jesús Camarena

Tabla de contenido

🔸 Introducción

La convolución es una herramienta matemática fundamental en el procesamiento de imágenes que permite aplicar operaciones lineales como el suavizado, realce de bordes y eliminación de ruido. En esta clase, exploraremos cómo se define la convolución en una y dos dimensiones, su relación con la transformada de Fourier, y su aplicación práctica en imágenes digitales.

En esta clase aprenderás:

• Qué es la convolución y cómo se define en el dominio continuo y discreto.
• Cómo realizar convoluciones en una y dos dimensiones.
• La relación entre la convolución y la transformada de Fourier.
• Aplicaciones prácticas de la convolución en el procesamiento de imágenes.

📘 Fundamento Teórico

📖 Conceptos Básicos

📄 Definición de la Convolución

1. Convolución continua (1D):

   $y(t) = \int_{-\infty}^\infty g(t - \tau) x(\tau) d\tau$

   Donde:

   • x(t) es la señal de entrada.
   • g(t) es la función o máscara utilizada para convolucionar.
   • y(t) es la señal de salida.

2. Convolución discreta (1D):

   $y[n] = \sum_{k=-\infty}^\infty g[k] x[n-k]$

3. Convolución en dos dimensiones (2D):

   • Continua:

     $g(x, y) = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty f(x - u, y - v) h(u, v) du\, dv$

   • Discreta:

     $g(i, j) = \sum_{m=-M}^M \sum_{n=-N}^N f(i-m, j-n) h(m, n)$

📄 Propiedades Importantes de la Convolución

1. Conmutativa:

   $x∗g=g∗x$

2. Linealidad:

   $x∗(g1+g2)=(x∗g1)+(x∗g2)$