👥 Autores

⚡ Jesús Camarena

Tabla de contenido

🔸 Introducción

El muestreo es un concepto fundamental en el procesamiento de señales e imágenes, y resulta crucial para entender cómo las imágenes digitales se representan, procesan y reconstruyen. En esta clase, exploraremos los fundamentos del muestreo en una y dos dimensiones, revisaremos conceptos esenciales como el fenómeno de las réplicas y el traslape, y aprenderemos estrategias para evitar la pérdida de información.

En esta clase aprenderás:

• Cómo se modela el muestreo en una y dos dimensiones.
• Qué es el fenómeno de réplicas y traslape en el dominio de Fourier.
• Cómo aplicar filtros pasa bajos para evitar traslape.

📘 Fundamento Teórico

📖 Conceptos Fundamentales

📄 Propiedades Previas

1. Convolución con el impulso:

   $$ δ(t)∗f(t)=f(t) $$

2. Convolución y Transformada de Fourier:

   • La transformada de Fourier de la convolución de dos funciones es el producto de sus transformadas individuales.

   $$ F{g(t)∗f(t)}=G(ω)⋅F(ω) $$

   • La multiplicación en el dominio original equivale a la convolución en el dominio de Fourier:

   $$ F{g(t)⋅f(t)}=G(ω)∗F(ω) $$

3. Transformada de Fourier de un tren de impulsos:

   • Un tren de impulsos en el dominio del tiempo con período T tiene una transformada de Fourier que es otro tren de impulsos con período 1/T.

📖 Muestreo en Una Dimensión

📄 Fenómeno de Réplicas

1. Convolución de una función con un tren de impulsos: Al multiplicar una función f(t)f(t)f(t) por un tren de impulsos, la señal original se muestrea:

   $$ f_s(t) = f(t) \cdot \sum_{n=-\infty}^\infty \delta(t - nT)

   $$

   En el dominio de Fourier, esto genera réplicas del espectro F(ω) centradas en n/T:

   $$ F_s(\omega) = \frac{1}{T} \sum_{n=-\infty}^\infty F\left(\omega - \frac{2\pi n}{T}\right)

   $$